Given 

n, how many structurally unique 

BST's (binary search trees) that store values 1...

n?

For example,

Given 

n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1     \       /     /      / \      \      3     2     1      1   3      2     /     /       \                 \    2     1         2                 3

[Thoughts]

这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

 1                1                      2                       3             3

    \                 \                 /      \                  /              /

      3               2              1       3               2             1

    /                   \                                       /                  \

 2                       3                                   1                    2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，

Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点

Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能

1                       2

  \                    /

    2                1

Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)

                  + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：

Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)

               + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)

               + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为

Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1

问题至此划归为一维动态规划。

[Code]

1:       int numTrees(int n) {  2:            vector
    
      count(n+1, 0);  3:            count[0] =1;  4:            count[1] =1;  5:            for(int i =2; i<=n; i++)  6:            {  7:                 for(int j =0; j
    

[Note]

这是很有意思的一个题。刚拿到这题的时候，完全不知道从那下手，因为对于BST是否Unique，很难判断。最后引入了一个条件以后，立即就清晰了，即

当数组为 1，2，3，4，.. i，.. n时，基于以下原则的BST建树具有唯一性：

以i为根节点的树，其左子树由[0, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。